Wie misst man den RMS (Root Mean Square) einer Wechselspannung ?
Der Effektivwert einer Spannung U ist definiert als diejenige Gleichspannung U_eff, die an einem Widerstand die gleiche Wärmemenge (Leistung) abgibt, wie die Wechselspannung U. Um den Effektivwert zu berechnen, berechnet man "einfach" die Fläche unter der Kurve, also das Integral über eine Periode, der Wechselspannung.
Es gibt eigentlich zwei "klassische" Methoden: Man nimmt einen "True RMS Konverter", den gibt es fertig als IC, etwa von Analog Devices, der eine dem Effektivwert der Spannung proportionale Gleichspannung erzeugt. Dazu wird die Eingangsspannung quadriert und der Mittelwert berechnet.
Oder man macht das digital, d.h. man erfasst die Spannung mit einem AD-Wandler und berechnet das Integral numerisch, berechnet also den Mittelwert des Absolutwerts. Die spannende Frage ist, welche Abtastrate braucht man. Handelt es sich um ein periodisches Signal, dann braucht man nicht besonders schnell abzutasten, die Abtastfrequenz kann durchaus auch niedriger als die Signalfrequenz sein (undersampling). Da letztlich ja nur der Mittelwert von Interesse ist, braucht man nur insgesamt genügend samples, um eine gute Näherung des tatsächlichen Werts zu erhalten. Außerdem kann es Probleme geben, wenn die Sample and hold-Schaltung zu langsam und ggf. nichtlinear ist.
Konkret geht es hier darum, eine sinusförmige Wechselspannung verhältnismäßig genau (besser als 1%) zu messen. Das Signal ist Bandpass-gefiltert, also gibt es keine Probleme mit Aliasing. Die Signalfrequenz ist 3 kHz, die (maximale) Abtastrate des verwendeten Arduino Due etwa 80kHz.
Aber wieviele Samples braucht man für welche Genauigkeit ? Ein einfaches Experiment soll Aufschluss geben. Ein Sinusgenerator erzeugt ein 3kHz-Signal, das an einen der analogen Eingänge des Arduino geht und mit 12 Bit Auflösung digitalisiert wird.
Es wird eine variable Anzahl von Samples aufgezeichnet, die Null-Linie berechnet (einfach der Mittelwert), quadriert, Mittelwert berechnet und wieder die Wurzel gezogen. Das gibt dann den Effektivwert. Um den Effekt verschiedener Abtastraten zu untersuchen, wird zunächst "ungebremst", dann mit einer variablen Verzögerung von 1-4msec gemessen. Das wird für unterschiedliche Anzahlen von samples (100 bis 2000 samples) wiederholt. In der Abbildung oben sieht man das Ergebnis. Dargestellt ist die Standardabweichung des RMS-Werts bei 20 aufeinanderfolgenden Messungen.
Man sieht, dass die Standardabweichung mit steigender Anzahl von samples kleiner wird, zwischen etwa 1000 und 1500 samples scheint ein etwa konstanter Wert erreicht zu sein. Mit zunehmender Verzögerung zwischen den Samples wird das Ergebnis auch immer besser.
Die Verbesserung mit zunehmender Anzahl von samples ist leicht erklärbar: Da nicht über ganze Perioden gemessen wird, entstehen immer Fehler, die immer kleiner werden, je mehr samples betrachtet werden. Die Ursache des zweiten Effekts ist nicht so klar. Es könnte sein, dass der zeitliche Abstand zwischen zwei samples stärker schwankt, je größer der Abstand --> zufälligere Verteilung der Messpunkte. Möglicherweise kann sich aber auch bei längerem Abstand die S&H-Schaltung erholen .... Mal überlegen, wie man das rauskriegen könnte.
